Hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất của một phân phối mũ có dạng sau

f ( x ; λ ) = { λ e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}

trong đó λ > 0 là tham số của phân bố, thường được gọi là tham số tỉ lệ (rate parameter). Phân bố được hỗ trợ trên khoảng [0,∞). Nếu một biến ngẫu nhiên X có phân bố này, ta viết X ~ Exponential(λ).

Hàm phân bố tích lũy

Hàm phân bố tích lũy được định nghĩa như sau:

F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}

Đặc tả khác

Một cách khác để định nghĩa hàm mật độ xác suất của một phân phối mũ như sau:

f ( x ; λ ) = { 1 λ e − x / λ , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\lambda }}e^{-x/\lambda }&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}

Trong đó, λ > 0 là một tham số của phân bố và có thể được coi là nghịch đảo của tham số tỉ lệ được định nghĩa ở trên. Trong đặc tả này, λ là một tham số sống sót (survival parameter) theo nghĩa: nếu một biến ngẫu nhiên X là khoảng thời gian mà một hệ thống sinh học hoặc cơ học M cho trước sống sót được và X ~ Exponential(λ) thì E [ X ] = λ {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\lambda } . Nghĩa là, khoảng thời gian sống sót kỳ vọng của M là λ đơn vị thời gian.

Đôi khi, đặc tả này thuận tiện hơn đặc tả đầu tiên, một số tác giả dùng đặc tả này làm định nghĩa chuẩn (nhưng trong bài này thì không). Rất tiếc là điều này làm nảy sinh nhập nhằng về ký hiệu. Nói chung, người đọc sẽ phải kiểm tra xem đặc tả nào trong hai đặc tả này được sử dụng khi một tác giả viết "X ~ Exponential(λ)."